Conjuntos numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais

Matemática – Conjuntos numéricos        

A teoria dos conjuntos é a teoria matemática capaz de agrupar elementos.Dessa forma, os elementos (que podem ser qualquer coisa: números, pessoas, frutas) são indicados por letra minúscula e definidos como um dos componentes do conjunto.

Assim, enquanto os elementos do conjunto são indicados pela letra minúscula,  e, normalmente, dentro de chaves ({}), os conjuntos, são representados por letras maiúsculas.Além disso, os elementos são separados por vírgula ou ponto e vírgula, por exemplo: A = {a,e,i,o,u}      

A relação de pertinência é um conceito muito importante na "Teoria dos Conjuntos".Ela indica se o elemento pertence (e) ou não pertence (ɇ) ao determinado conjunto, por exemplo: N e Z (N pertence ao conjunto Z), Z ɇ N (Z não pertence ao conjunto N)

A relação de inclusão aponta se tal conjunto está contido (C), não está contido (Ȼ) ou se um conjunto contém o outro (Ɔ), por exemplo:

• N C Z (N está contido em Z, ou seja, todos os elementos de  N estão em Z)
   

• Q Ȼ I  (Q não está contido em I, na medida em que os elementos do conjuntos são diferentes)
    

• Z Ɔ N (Z contém N, donde os elementos de N estão em Z)

Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7,8,9}, a intersecção é representada pelo símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois conjuntos.

O conjunto vazio é o conjunto em que não há elementos; é representado por duas chaves { } ou pelo símbolo Ø. Note que o conjunto vazio está contido (C) em todos os conjuntos.

União de conjuntos- Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, a união deles seria pegar todos os elementos de A e de B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Intercepção de conjuntos- Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles têm em comum.

Conjuntos dos números naturais(IN) - Surgiu com o objetivo de contar os elementos da natureza, são aqueles que conseguimos contar IN= N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}. Não se trata de um ‘’ i’’ pois o‘’ I’’ e uma barrinha, se trata apenas de um ‘’ N’’).  Esses números tem um começo, mas caminha para o infinito.A uma discussão sobre o zero pertencer aos números naturais, por isso as vezes se usa IN* {1,2,3,4...}, que indica que temos os naturais sem o zero.

• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não nulos, ou seja, sem o zero.
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.

Conjuntos dos números inteiros(Z)-Surgiu com objetivo de demostrar dividas nos comércios da época Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z).z*= {...-3,-2,-1,1,2,3...}, inteiros não nulos, não possui zero. Z- = {...-3,-2,-1,0}, não positivo. Z+ {0,1, 2...} inteiros não negativos.

Números simétricos estão a mesma distância da origem, cada número inteiro positivo possui um número inteiro negativo correspondente.

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Módulo ou valor absoluto  é o comprimento a distancia do numero até a origem. O módulo de {-1} ou {1] é 1unidade)

Conjuntos dos números racionais(Q) – Define-se por conjunto de cociente ou seja de divisões, sento todos aqueles que podemos colocar na forma de fração de inteiros.Q = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4,5,6...} Historicamente, os racionais estão associados a resultados de mediações. Q (N e N ⊂ Q)

Ex:  

Obs:As dizimas que são periódicas também pertence ao conjunto dos números racionais.

Dízimas periódicas, esse nome é dado aos números decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos.

Nas dízimas periódicas simples, o período apresenta-se logo após a vírgula como o 0,222...Para achar a achar a fração geratriz, coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.

Nas dízimas periódicas compostas, entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 

(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo). Assim  0,27777...

Conjuntos dos números irracionais - (I) Os números Irracionais não tem uma periodicidade após a vírgula. Ex.√2 ≅ 1,4142... π (Pi) 3,141592653... √3≅ 1,71. Irracionais é racionais são conjuntos opostos um não pertence o outro então pela interseção dos dois se obtém um conjunto vazios I ∩ Q =∅

Conjuntos dos números reais (R)-Os números reais está para os demais com função de junta-los, Apenas unifica. R= Q U I